Maths Pour Tous

Il y a deux manières de rencontrer le concept d’infini en mathématiques. La première est l’infini des enfants : lorsqu’ils apprennent à compter, ils comprennent très vite que ce processus ne s’arrête pas ; quand on arrive à un certain nombre, on peut toujours lui rajouter 1 et en obtenir un strictement plus grand, et recommencer l’opération jusqu’à... l’infini ? Ici l’infini est un horizon, le point que l’on atteint si l’on ne s’arrête jamais d’avancer, on s’en approche tout en restant très loin.
La deuxième approche est ensembliste. La notion d’ensemble est la clé de voûte de tout l’édifice mathématique. Quand on manipule des ensembles, il est naturel de vouloir "compter" leurs éléments, de quantifier leur taille. Pour les ensembles de tailles finis c’est facile, mais les ensembles qui ne sont pas finis apparaissent naturellement en mathématiques et même dans la vie de tous les jours (repensez aux enfants apprenant à compter...). Les recherches de l’allemand Georg Cantor (1845-1918) ont fait basculer les mathématiques dans une nouvelle ère : il existe plusieurs sortes d’infinis, on peut les comparer, calculer avec etc.
Le but de cet exposé est de répondre à la question suivante : y-a-t-il autant de nombres entiers que de nombres réels ? Dans la première partie, nous expliquerons comment formaliser mathématiquement le fait que deux ensembles aient ou non autant d’éléments. Dans la deuxième partie nous répondrons à notre question, à travers des démonstrations rigoureuses ne s’appuyant que sur très peu de formalisme. La dernière partie met à rude épreuve notre intuition et illustre les situations paradoxales que l’on peut rencontrer en s’aventurant trop longtemps dans le fameux Paradis que Cantor a créé.

Prochain exposé:

Akinator, entropie et désordre – Nicolas Masson