Maths Pour Tous
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Exposé

Comment démontrer un théorème en le dessinant sur sa fenêtre ?

Par Cécile Gachet
Elève en M1 de mathématiques à l'ENS

Maths pour tous

Chateaubriand affirme dans Le génie du christianisme, livre 2, chapitre 1 :

"Il y a une géométrie matérielle qui se compose de lignes, de points, d'A + B ; avec du temps et de la persévérance, l'esprit le plus médiocre peut y faire des prodiges. C'est alors une espèce de machine géométrique qui exécute d'elle-même des opérations compliquées, comme la machine arithmétique de Pascal. [...] Entêtés dans leurs calculs, les géomètres ont un mépris ridicule pour les arts de l'imagination [...]."

Dans cette séance, on va à l'encontre de la thèse de Chateaubriand : la géométrie est une branche splendide des mathématiques, qui pour faire face à des problèmes profonds érige des preuves ingénieuses, développe des arguments inattendus, appelle de ses vœux des théories subtiles... Bref, c'est une science à part entière qui évolue sans cesse. Par exemple, on se propose de présenter ici un principe de raisonnement très puissant, dit "projectif", qui permet d'appréhender certains énoncés géométriques sous un jour nouveau. L'idée est la suivante : à partir du moment où un théorème ne fait pas intervenir d'objets trop compliqués (c'est-à-dire qu'il peut se formuler en termes de droites et de points, sans parler de milieux, d'égalités de longueurs, de cercles...), on peut changer le point de vue qu'on a sur le théorème d'une manière qui le rend immédiatement plus facile à prouver.

Dans cet exposé, on se propose de donner un exemple de raisonnement projectif. Dans un premier temps, on énonce un théorème de géométrie tout ce qu'il y a de plus banal, le théorème dit de Pappus (dû au mathématicien grec Pappus d'Alexandrie, quatrième siècle avant notre ère). Dans un deuxième temps, on explique comment, en dessinant la figure de ce théorème sur une fenêtre, on change de point de vue et on simplifie le problème ; on profite de cette introduction au raisonnement projectif pour démontrer le théorème de Pappus. Enfin, dans un troisième temps, on expose sans démonstration quelques résultats intéressants qui apparaissent dans le sillage du théorème de Pappus.

 

Prochains exposés:
Comptons les moutons – Vadim Lebovici
Voyage en dimensions supérieures – Eva Philippe
Quelle vitesse pour envoyer une fusée dans l’espace ? – Adrien Ellis
A prendre ou à laisser – Jules Candau-Tilh
C’est graphe docteur ? – Lucas Vacossin
Une après-midi au PMU – Lucas Journel
Je crois que la Terre est plate – Lucas Willems
Vers l’infini et au-delà – Arthur Touati
Akinator, entropie et désordre – Nicolas Masson

Mis à jour le 8/9/2017